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微分应用在函数图形的特徵上


一、前言

99课纲的的数学I教材中,在多项式函数的章节里,有一单元为单项函数,要求学生认识与绘製 $$f(x)=x^3$$ 或 $$x^4$$ 的函数图形,然后再利用平移认识 $$f(x) = {(x – h)^3} + k$$(或 $$f(x) = {(x – h)^4} + k$$)的图形即可。

以现阶段学生学得的数学知识而言,确实他们也只能学习到此,但是在某些有关三次方程式的实根问题中,如果学生可以知道一般三次函数的图形时,配合图形来讨论实根,将可降低题目的难度,以及提升学生对解题过程的理解。以下笔者配合微分的学习,来说明三次函数的图形。

二、函数的递增与递减

设 $$f (x)$$ 为一函数,其定义域 $$D\subset R$$。对 $$D$$ 中任意 $$x_1, x_2$$,满足「若 $$x_1>x_2$$,则 $$f(x_1)\ge f(x_2)$$」具有这个性质的函数,称为递增函数。

也就是说,当自变数 $$x$$ 增加时,其相对应的函数 $$f(x)$$ 也增加(或至少相等),那幺其函数图形就会有「右移则上升」的现象。例如 $$y=x$$ 的图形(如图一)。若 $$x_1>x_2$$,则 $$f(x_1)>f(x_2)$$,则 $$f(x)$$ 称为严格递增函数。

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设 $$f(x)$$ 为一函数,其定义域 $$D\subset R$$。对 $$D$$ 中任意 $$x_1,x_2$$,满足「若 $$x_1>x_2$$,则 $$f(x_1)\le f(x_2)$$」具有这个性质的函数,称为递减函数。

也就是说,当自变数 $$x$$ 增加时,其相对应的函数 $$f(x)$$ 却减少(或至少相等),那幺其函数图形就会有「右移则下降」的现象。例如 $$y=-2x+3$$ 图形(如图二)。若 $$x_1>x_2$$,则 $$f(x_1)

由于函数 $$y=f(x)$$ 在 $$x=a$$ 的导数 $$f'(a)$$ 代表在点 $$(a, f(a))$$ 的切线斜率,因此当导数为正时,切线斜率为正。若 $$x$$ 在某一段範围内,切线斜率皆为正数,那幺函数在这段範围为递增,反之则为递减:

设 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 内导函数 $$f'(x)$$ 存在

$$(1)$$ 若 $$f'(x)\ge 0$$ 时,则 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 内为递增函数。
反之,若 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 内为递增函数,则对于每一个,$$f'(x)\ge 0$$。

$$(2)$$ 若 $$f'(x)\le 0$$ 时,则 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 内为递减函数。
反之,若 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 内为递减函数,则对于每一个,$$f'(x)\le 0$$。

三、函数图形的凹向与反曲点

在高一的课程中,利用指数函数与对数函数的图形特性,以几何直观的方式让学生认识何谓图形的凹向:图形上在某段範围内,若任两点的连线段都在图形的上方,则称为凹口向上,如图三;图形上在某段範围内,若任两点的连线段都在图形的下方,则称为凹口向下,如图四。

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由图三与图四也可看出,当切线斜率越来越大时,函数图形凹口向上;当切线斜率越来越小时,函数图形凹口向下,即

设 $$f(x)$$为多项式函数
$$(1)$$    当 $$f'(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 为严格递增函数,称 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 的图形为凹口向上。
$$(2)$$    当 $$f'(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 为严格递减函数,称 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 的图形为凹口向下。

而 $$f'(x)$$ 这个函数的递增与递减,可由它的导函数 $$f”(x)$$ 来判断,因此可得函数图形的凹向与导数的关係:

$$(1)$$   若区间 $$(a, b)$$ 内,$$f”(x)>0$$ 恆成立(即 $$f'(x)$$ 为严格递增),则 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 的图形为凹口向上。
$$(2)$$   若区间 $$(a, b)$$ 内,$$f”(x)<0$$ 恆成立(即 $$f'(x)$$ 为严格递减),则 $$f(x)$$ 在区间 $$(a, b)$$ 的图形为凹口向下。

若函数 $$f(x)$$ 的图形在点 $$P(a, f(a))$$ 之左右两侧,一为凹口向上,一为凹口向下,则 $$P$$ 称为 $$f(x)$$ 图形的反曲点。此时 $$f”(a)=0$$,但是 $$f”'(a)\ne 0$$(因为凹口要有变化才成称为反曲点),如下图五的 $$P$$ 点。

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(图五)

四、函数的极值

当函数 $$y=f(x)$$ 在 $$x=a$$ 有(相对)极大值时,可以发现函数图形在 $$x=a$$ 的左右两边,切线斜率由正数变为负数,如下图六;反之,当函数 $$y=f(x)$$ 在 $$x=a$$ 有(相对)极小值时,可以发现函数图形在 $$x=a$$ 的左右两边,切线斜率由负数变为正数,如下图七。

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因此可得与函数导数及与极值有关的两个定理:

定理 $$1.$$ 若函数 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 处有极值(极大值或极小值),且 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 处可微分,则 $$f'(a)=0$$。(即在 $$x=a$$ 处有一条斜率为 $$0$$ 的水平切线)

证明:

$$\because x=a$$ 可微   $$\therefore \displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}}$$ 存在

当 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 处有极大值时,即在 $$x=a$$ 附近,$$f(a)\ge f(x)$$,

因此 $$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} \le 0$$,而 $$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} \le 0$$

故可得 $$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}}=0$$,即 $$f'(a)=0$$。

同理,在 $$x=a$$ 处有极小值时,$$f'(a)=0$$

定理 $$2.$$ 设函数 $$f(x)$$ 在 $$a$$ 点附近的各点都可微分,且$$f'(a)=0$$,

除此之外,函数可能出现极值的点,还需要考虑函数的不可微分点,以及定义域的端点。
例如 $$f(x)=\left|x\right|$$,在 $$x=0$$ 实不可微,但函数在 $$x=0$$ 时有极小值;而函数 $$f(x)=\sqrt{x},~x\ge 0$$,$$x=0$$ 为定义域的端点,在 $$x=0$$ 时函数有极小值。

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